наверх

Решение уравнений

     Нелинейные уравнения делятся на два класса – это алгебраические и трансцендентные. Первыми называют уравнения, которые содержат лишь алгебраические функции, то есть целые, рациональные или иррациональные. Например, многочлен признается целой алгебраической функцией. Уравнения, которые содержат прочие функции (тригонометрические, показательные либо логарифмические и иные) именуются трансцендентными.

     Методы решения всех нелинейных уравнений подразделяются на 2-е группы: 

  1. точные методы; 
  2. методы итерационные.

     Первые позволяют записать корни при решении уравнения в форме некоторого конечного соотношения (то есть формулы). Из школы известны данные методы для решения различных тригонометрических, логарифмических, показательных и простейших алгебраических примеров.

     При этом многие уравнения, а также системы уравнений вовсе не имеют каких-то аналитических решений. Так, в первую очередь, такое утверждение касается большинства трансцендентных уравнений. Кроме того, доказано то, что нельзя построить специальную формулу, по которой возможно было бы получить ответ на какой-либо произвольный алгебраический пример в степени выше четвертой. К тому же, в отдельных случаях в уравнениях могу содержать коэффициенты, известные только приблизительно, и, значит, сама задача о конкретном определении решения уравнения теряет смысл. С целью нахождения ответа применяются итерационные методы с установленной степенью точности.

     Решение уравнения итерационным методом означает установление того, имеет ли оно вообще корни, сколько именно корней, и нахождение этих корней с заданной точностью.

     Задача нахождения корня таким итерационным методом включает 2 этапа: 

  1. отделение корней – это отыскание приближенного значения для корня либо содержащего его промежутка;
  2. уточнение приближенных корней – это доведение их до определенной степени точности.

     Приближенные значения корней (то есть начальные приближения) могут, кроме того, быть известны из собственно физического смысла задачи, а также из решения сходного примера при иных исходных данных, либо могут быть найдены особым графическим способом. Так, в инженерной практике больше распространен графический способ в решении уравнений при поиске приближенных корней. Кроме того, может применяться и метод половинного деления. Его практически удобно применять с целью грубого нахождения корня определенного уравнения, метод прост, а также надежен.

     При этом стоит отметить, что из-за неизбежных округлений результаты и точных методов, строго говоря, являются приближенными. Однако при применении итерационных методов для решения уравнений, сверх того, добавляется также погрешность метода.

     Эффективное применение таких итерационных методов во многом зависит от правильного выбора начального приближения, а также быстроты сходимости процесса.

     Для решения особо сложных (особенно матричных) уравнений применяют Метод Гаусса. Так, его еще именуют методом Гауссовых исключений. Он заключается в том, что всю систему приводят строго последовательным исключением различных неизвестных к некой эквивалентной системе уже с треугольной матрицей, решение которой затем находят по особым рекуррентным формулам. В матричной записи такое означает, что сначала различными элементарными операциями над всеми строками приводят имеющуюся расширенную матрицу системы лишь к ступенчатому виду, а после данную ступенчатую матрицу преобразуют таким образом, чтобы во всех первых столбцах получилась уже единичная матрица. Это прямой и обратный ходы Гаусса.