наверх

Формулы производной

     Формулы производной широко применяются в математике для изучения изменений функций и решения задач, связанных с вычислением дифференциальных уравнений. По сути дела, производные являются базисом для исследований, связанных с изучением поведения системы, динамики и масштабов произошедших с ней изменений. Все это делается для того, чтобы сделать математическую систему предсказуемой и предугадать то, как на нее повлияют разнообразные сторонние факторы.

     В геометрии производные функций выражаются через угловые коэффициенты графиков функций, точнее, через угловые коэффициенты касательной линии в заданной точке. Таким образом, формулы производных функций получаются путем вычислений формулы тангенса угла наклона по отношению к прямой линии. При этом производные в геометрии имеют одну характерную особенность, связанную с тем, что переход к пределу может быть произведен только по отношению к кривой. 

     В компьютерной алгебре нахождение производных производится в комплексных плоскостях. По этой причине они получили название комплексных производных. При этом они представляют собой функцию и все ее переменные в совокупности с изменениями бесконечно малых величин.

     Отвлечемся, однако, от теории и посмотрим, как формулы производной используются на практике, в частности, при решении задач, связанных с нахождением производной функции. Поскольку математическая наука полностью построена на определенных правилах, по которым решаются примеры, необходимо понимать, что для проведения вычислений следует перевести выражение в тот вид, который требуется для его решения. В большинстве случаев в математике используются два вида формул:

  1. формулы производной для дифференцирования функций;
  2. производные для элементарных функций

     Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо определить от какой именно комбинации элементарных функций будет находиться производная. Для этого обычно используют правила дифференцирования функций. После этого нам необходимо узнать, от какой функции берется производная, что можно сделать с помощью таблицы производных для различных функций.
Правила дифференцирования элементарных выражений
Для элементарных функций существует 4 варианта правил дифференцирования. В качестве примера рассмотрим две функции – u и v. Для них существуют следующие комбинации производных: 
   
     Кроме вышеуказанных выражений, существуют и формулы производных сложных функций. Давайте выясним, с помощью чего они получаются. Допустим, что существует некая функция f, которая зависит от x посредством функции g, которая, в свою очередь, напрямую зависит х. В этом случае зависимость, существующую между х и f, можно выразить как f=f(g(х)). В данном примере функция f является внешней, а g(х) – внутренней. Чтобы выразить формулы производных таких сложных функций, необходимо использовать следующее правило: чтобы найти производную сложной функции надо умножить производную внутренней функции на производную внешней функции. Если записать это правило в математическом виде, то мы получим выражение вида 
   
                    Производные элементарных функций
     В случае элементарных функций все намного проще. Правила вычисления для них приведены к общему виду и при решении следует всего лишь подставлять их в примеры.